حل کار در کلاس صفحه 6 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۶ ریاضی دهم سلام به شما! این تمرین فوق‌العاده مهمی است برای درک تفاوت بین **مجموعه‌های متناهی** (قابل شمارش و محدود) و **مجموعه‌های نامتناهی** (بی‌نهایت و غیرقابل شمارش). بیایید با هم جدول را کامل کنیم: | مجموعه | متناهی | نامتناهی | تعداد اعضا (در مورد مجموعه‌های متناهی) | | :--- | :--- | :--- | :--- | | مجموعه‌ی اعداد یک رقمی | $\checkmark$ | | **۱۰ عضو**. (شامل $\{۰, ۱, ۲, \dots, ۹\}$)| | مجموعه‌ی انسان‌های روی زمین | $\checkmark$ | | **تقریباً ۸ میلیارد نفر** (قابل شمارش در لحظه‌ای معین) | | مجموعه‌ی اعداد طبیعی فرد | | $\checkmark$ | **نامتناهی**. ($\{۱, ۳, ۵, \dots\}$) | | مجموعه‌ی سلول‌های عصبی مغز یک انسان | $\checkmark$ | | **تقریباً ۸۶ میلیارد سلول** (قابل شمارش در اصل، اما بسیار زیاد!) | | مجموعه‌ی تمام دایره‌های به مرکز مبدأ مختصات | | $\checkmark$ | **نامتناهی**. (شعاع دایره می‌تواند هر عدد حقیقی مثبت باشد) | | مجموعه‌ی دانش‌آموزان مدرسه‌ی شما | $\checkmark$ | | **عدد دقیق مشخص** (بسته به مدرسه‌تان) | | مجموعه‌ی اعداد طبیعی ده‌رقمی | $\checkmark$ | | **$۹ \times ۱۰^۹$ عضو** (۹ میلیارد عدد، چون از $۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰$ تا $۹۹۹۹۹۹۹۹۹۹$)| | مجموعه‌ی درخت‌های جنگل‌های آمازون | $\checkmark$ | | **تقریباً ۳۹۰ میلیارد درخت** (قابل شمارش در اصل) | | مجموعه‌ی کسرهای مثبت با صورت یک | | $\checkmark$ | **نامتناهی**. (صورت ۱، مخرج می‌تواند هر عدد طبیعی باشد: $\{\frac{۱}{۱}, \frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۳}, \dots\}$) | | مجموعه‌ی مضرب‌های طبیعی عدد ۱۰ | | $\checkmark$ | **نامتناهی**. ($\{۱۰, ۲۰, ۳۰, ۴۰, \dots\}$) | | بازه‌ی $(۰, ۱)$ | | $\checkmark$ | **نامتناهی**. (این بازه شامل بی‌نهایت عدد حقیقی بین ۰ و ۱ است) | | مجموعه‌ی مولکول‌های موجود در یک مول مشخص از آب | $\checkmark$ | | **$۶.۰۲۲ \times ۱۰^{۲۳}$ مولکول** (عدد آووگادرو، عددی متناهی اما بسیار بزرگ!) | --- ### نکته‌های مهم برای یادگیری: * **متناهی:** مثل یک جعبه‌ی محدود از مدادهاست؛ می‌تونیم بشماریمشون، حتی اگر تعدادشون (مثل سلول‌های مغز یا درختان آمازون) خیلی خیلی زیاد باشه! کلید اینه که **شمارش‌پذیر و محدود** هستن. * **نامتناهی:** مثل ریل‌های قطاری که هیچ‌وقت تموم نمی‌شن! نمونه‌های اصلی شامل **اعداد طبیعی فرد** ($\{۱, ۳, ۵, \dots\}$) و تمام **نقاط یا اعداد** در یک بازه (مثل $(۰, ۱)$) یا **تمام دایره‌ها** با یک ویژگی مشخص (مثل مرکز مبدأ مختصات) هستن. یادتون باشه در بازه‌های حقیقی، بین هر دو عدد، بی‌نهایت عدد وجود داره.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۶ ریاضی دهم همون‌طور که یاد گرفتیم، **مجموعه‌ی متناهی** مجموعه‌ایه که تعداد اعضای اون مشخص و قابل شمارشه. مهم نیست که این تعداد چقدر زیاد باشه، مهم اینه که بالاخره به پایان می‌رسه. ### مثال‌هایی برای مجموعه‌ی متناهی: 1. **مجموعه‌ی حروف الفبای فارسی:** این مجموعه فقط شامل ۳۲ حرف است. $\{\text{ا}, \text{ب}, \text{پ}, \dots, \text{ی}\}$ 2. **مجموعه‌ی اعداد صحیح بین $-۵$ و $۵$:** این مجموعه شامل تعداد محدودی عدد صحیح است: $\{-۴, -۳, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ۳, ۴\}$ 3. **مجموعه‌ی سیاره‌های منظومه‌ی شمسی:** این مجموعه فقط ۸ عضو دارد. به طور خلاصه، هر مجموعه‌ای که بتونید اعضای اون رو بشمارید و در نهایت به پایان برسه، یک مجموعه‌ی متناهی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۶ ریاضی دهم این سؤال درباره‌ی **مجموعه‌های نامتناهی** و رابطه‌ی **زیرمجموعه** ($\subseteq$) هست. باید دو مجموعه‌ی بی‌نهایت پیدا کنیم که تمام اعضای یکی، در مجموعه‌ی دیگر هم وجود داشته باشه. ### مثال: فرض کنید: * **مجموعه‌ی $\text{A}$، مجموعه‌ی اعداد زوج طبیعی** باشد: این مجموعه نامتناهی است: $$\text{A} = \{۲, ۴, ۶, ۸, \dots\}$$ * **مجموعه‌ی $\text{B}$، مجموعه‌ی اعداد طبیعی** باشد (همه‌ی اعداد شمارشی): این مجموعه هم نامتناهی است: $$\text{B} = \{۱, ۲, ۳, ۴, \dots\}$$ **بررسی زیرمجموعه بودن:** همون‌طور که می‌بینید، تمام **اعداد زوج طبیعی** ($\text{A}$) حتماً جزو **اعداد طبیعی** ($\text{B}$) هم هستند. اما اعداد فرد (مثل ۱ و ۳) در $\text{A}$ نیستند. پس، $\text{A}$ **زیرمجموعه‌ی** $\text{B}$ است و هر دو نامتناهی هستند: $$\text{A} \subseteq \text{B}$$ **مثال دوم (با استفاده از اعداد صحیح و گویا):** * **مجموعه‌ی $\mathbb{Z}$، مجموعه‌ی اعداد صحیح:** نامتناهی: $\{\dots, -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, \dots\}$ * **مجموعه‌ی $\mathbb{Q}$، مجموعه‌ی اعداد گویا:** نامتناهی: $\{\frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}, b \neq ۰\}$ هر عدد صحیح یک عدد گویا هم هست (چون می‌تونیم اون رو به شکل یک کسر با مخرج ۱ بنویسیم، مثلاً $۲ = \frac{۲}{۱}$). پس: $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۴ صفحه ۶ ریاضی دهم این سؤال کمی چالشی‌تره! باید دو مجموعه‌ی **نامتناهی** $\text{A}$ و $\text{B}$ پیدا کنیم که: 1. **زیرمجموعه باشند:** $\text{A} \subseteq \text{B}$ (یعنی تمام اعضای $\text{A}$، در $\text{B}$ هم باشند). 2. **تفاضل تک عضوی باشد:** $\text{B} - \text{A}$ تک عضوی باشد (یعنی وقتی اعضای $\text{A}$ رو از $\text{B}$ برمی‌داریم، **فقط یک عضو** باقی بماند). ### توضیح و مثال: باید مجموعه‌ی $\text{B}$ شامل تمام اعضای $\text{A}$ **به علاوه یک عضو اضافی** باشد. فرض کنید مجموعه‌ها رو از **اعداد طبیعی** ($\mathbb{N} = \{۱, ۲, ۳, \dots\}$) انتخاب کنیم. * **مجموعه‌ی $\text{A}$:** مجموعه‌ی اعداد طبیعی **بزرگتر یا مساوی ۲**. این مجموعه نامتناهی است. $$\text{A} = \{x \in \mathbb{N} \mid x \geq ۲\} = \{۲, ۳, ۴, ۵, \dots\}$$ * **مجموعه‌ی $\text{B}$:** مجموعه‌ی **همه‌ی** اعداد طبیعی. این مجموعه هم نامتناهی است. $$\text{B} = \{۱, ۲, ۳, ۴, ۵, \dots\}$$ **بررسی شرایط:** 1. **$\text{A} \subseteq \text{B}$:** بله، همه‌ی اعضای $\text{A}$ (اعداد $۲$ و بزرگتر) در $\text{B}$ وجود دارند. (شرط اول برقرار است) ✅ 2. **$\text{B} - \text{A}$ تک عضوی باشد:** تفاضل $\text{B} - \text{A}$ یعنی اعضایی از $\text{B}$ که در $\text{A}$ نیستند. $$\text{B} - \text{A} = \{\text{۱}, \text{۲}, \text{۳}, \dots\} - \{\text{۲}, \text{۳}, \text{۴}, \dots\} = \{۱\}$$ نتیجه این شد که $\text{B} - \text{A}$ فقط شامل عضو **$۱$** است. پس **تک عضوی** است! (شرط دوم برقرار است) ✅ **مثال‌های دیگر:** * $\text{B} = \mathbb{Z}$ (اعداد صحیح) و $\text{A} = \mathbb{Z} - \{۰\}$ (اعداد صحیح به جز صفر). تفاضل $\text{B} - \text{A} = \{۰\}$. **تذکر مهم:** تذکر کتاب درسته! اینکه یک مجموعه **متناهی** باشه به این معنی نیست که تعداد اعضاش کمه. ممکنه تعداد اعضاش مثل تعداد مولکول‌ها در یک مول آب ($۶.۰۲۲ \times ۱۰^{۲۳}$) فوق‌العاده زیاد باشه، اما چون **حد و مرز مشخصی** داره، متناهی به حساب میاد و **قابل شمارشه**.